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徐州家教:高中学生学科素质训练系列试题


来源:徐州家教老师 日期:2018/7/5
高一数学上学期单元测试(3)
[新课标人教版] 空间几何体(必修2第一章)
                     
注意事项:
1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间为120分钟。
2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题和答题卡一并收回。
3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。
 
第Ⅰ卷
 
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分).
1.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面  (    )
A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形
C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形
2.如图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为 (    )
 
A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤
C.模块②,④,⑥ D.模块③,④,⑤
3.对棱柱叙述正确的是                                    (    )
A.底面一定是正方形,其它侧面是矩形
B.几何体都是平行四边形
C.仅有一组平面平行的几何体
D.有一组全等多边形平行,其余各面是平行四边形
4.半径为R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为                  (    )
A.      B. C.  D. 
5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45o,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是  (    )
A. B.    C.    D. 
6.如图,一个封闭的立方体,它的
六个表面各标有A,B,C,D,E,F
这六个字母之一,现放置成如
图的三种不同的位置,则字母
A,B,C对面的字母分别为(    )
A.D ,E ,F    B. F ,D ,E 
C.E, F ,D    D.E, D,F
7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,
可得该几何体的表面积是         (    )
A.9π   B.10π         
  C.11π          D.12π
8.平面α外的一侧有一个三角形,三个顶点到平面α
的距离分别是7、9、13,则这个三角形的重心
到平面α的距离为               (    )
        
 
 
9.已知,棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四
个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如下图所示,
则                                         (    )
A.以上四个图形都是正确的
B.只有(2)(4)是正确的
C.只有(4)是错误的
D.只有(1)(2)是正确的
10.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,
这个正四面体的高的最小值为                  (    )
A. B. C. D. 
11.如图,在正四面体A-BCD中,E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心,则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 (    )
 
 
 
 
 
 
A.①③      B.②③④        C.③④        D.②④
12.将正三棱柱截去三个角(如图1所示 分别是 三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为                  (    )
 
第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分).
13. 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 的面积为 ,那么△ABC的面积为_______________.
14.正四面体ABCD的棱长为1,棱AB∥平面α,则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是                 .
15.如右图,在直棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,
∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= , P是BC1上
一动点,则CP+PA1的最小值为         .
 
16.一个密闭的透明正方体容器内装有一半体积的溶液,任意转动
容器,则溶液表面可以是:①三角形;②菱形;③矩形;④正方形;
⑤正六边形。其中正确的序号是是:           .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分).
17.(12分)过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.
   (1)求证:MA2+MB2+MC2为定值;
   (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.(12分)如图,一个多面体的底是边长为4的等边△ABC, 、 、 都垂直于面ABC,且 , , .求这个多面体的体积V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(12分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为 ,求圆台的体积与球体积之比?.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.(12分)4个半径为1的中球上层1个、下层3个两两相切叠放在起.
   (1)有1个空心大球能把4个中球装在里边,求大球的半径至少多少;
   (2)在它们围成的空隙内有1个小球与这4个中球都外切,求小球的半径.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.(12分)某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油,由于不小心摔落地上,结果有两处破损并发生渗漏,它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方(单位:米).为了减少罐内液体油的损失,该人采用破口朝上,倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液体油最理想的估计能剩多少?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22.(14分)如图所示,在正三棱锥S—ABC中,过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点作一截面BEF和侧面SAC垂直. 
   (1)若E、F分别为SA、SC中点时,求此三棱锥的侧面积与底面积之比;
   (2)若AB=8,斜高h′= ,求截面BEF的面积.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
参考答案
一、选择题
1.D;提示:对于三棱锥P-ABC,当PA 面ABC,CB 面PAB;
2.A;提示:按照实际情况折叠图形,注意重合情况;
3.D;提示:按照棱柱的定义区分,也就是区分各底和各侧面;
4.A;提示:半圆的弧长对应底面圆的周长,可得 ,再处理即可;
5.A;提示:按照斜二测画法的对应法则,该图形对应一个上、下底边长为1、 ,高为2的直角梯形;
6.D;提示:可借助现有几何体标记演示;
7.D;提示:求组合体的表面积,它有半径为1的球和底面半径为1、高为3的圆柱组成;
8.A;提示:其一,作辅助平面 ,难以考虑到。其二,若A、B、C三点在平面的异侧作图形更难。
9.C;提示:在同一平面上的所有顶点不能过球心,因为正四面体和球共中心;
10.C;提示:把4个钢球的球心连结起来构成棱长为2的正四面体O1O2O3O4,点O是底面△O2O3O4的中心,E,F分别是O3O4和BC的中点,过O作OL⊥AF于L,交O1E于H。
11.C;提示:正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上,所以①②不正确,根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示,在其它平面上的射影如“③”所示;
12.A;提示:解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A;
二、填空题
13. ;提示:通过画直观图还原实际图像即可;
14.[ ];提示:当CD∥α时,面积取最大值,再由对称性处理最小值;
15. ;提示:将△BCC1沿BC1线展到面A1C1B上,如上右图,连结A1C,A1C即为CP+PA1最小值;
16.②、③、④、⑤;提示:注意正方体中体积最大的三棱锥(譬如正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥A1-ABC)的体积为 ;
 
三、解答题
17.(1)证明:以相互垂直的三条弦MA,MB,MC为棱作长方体,则该长方体的八个顶点都在球面上,并且该长方体的体对角线长为球的直径.
∴MA2+MB2+MC2=4R2(定值).……………………6分
   (2)解:VM-ABC=VC-AMB= ×MC• MA•MB= MA•MB•MC=  ≤
  =  = × • = R3.
当且仅当MA=MB=MC= R时,
VM-ABC最大= R3. ……………………12分
18.解法1:过 作与底面ABC平行的截面 。易知等边△ABC的高为 ,面积为 ,则
 ………………12分
解法2:连结 , ,则
 
…………12分
解法3:在原几何体上方补上一个相同的几何体(图2),
使成为正三棱柱,即AA′=BB′=CC′=6。
易得三棱柱体积为 ,
从而所求的 。………………12分
19.解:如图,是圆台和半球的截面图,设球的半径为R,
由题中已知条件可得OB=OC=BC=R,CE= ,
CD=R,………………4分
于是圆台的体积为:
V圆台= ,………………8分
又球的体积V球= πR3,所以 ………………12分
20.(1)连结4个中球的球心得到棱长为2的正四面体(直观图略),
它的外接球的半径长 ,因此大球的半径至少为 +1;………………6分
   (2)该小球的半径是最小大球的半径减去一个中球的直径长2,
即为 -1。………………12分
21.解:如图,设直三棱柱为ABC一A1B1C1,破损处为M、N,
且MB=b,CN=c.罐内所剩汽油的最大量应是几何体A1MN—ABC
的容量或几何体AMN—A1B1C1的容量.
连结MA、MC,设h是BB1与面AC1的距离,侧棱AA1=a,V =V , =
 = = .
而V = V,故V = V.
这样V = V. ………………6分
∵ = = ,而V = V,故V = V.
∴ = + = V+ V= V.
同理可求得V = V.
故最理想的估计罐内剩下汽油:
max{ V, V}.………………12分
22.解:(1)在正三棱锥S—ABC中,E、F分则为SA、SC的中点,
∴SE=SF,∠ESB=∠FSB,
∴△SEB≌△SFB.∴BE=BF,
连结EF,设G为EF的中点,连BG,则BG⊥EF,
又平面BEF⊥平面SAC,
∴BG⊥平面SAC,连结SG,从而BG⊥SG,
延长SG交AC于D,
连BD,则D为AC的中点,G为SD的中点。
∴BD=SB。………………4分
设正△ABC边长为a,
则SA=SB=SC=BD= a,SD= = a,
∴S侧=3S△ASC= a2,S底= .∴S侧:S底= a。………………9分
   (2)由(1)知,设O为S在底面上的射影,则
∵BD=4 ,∴OD= .而SD= ,
∴cos∠SDB= .∴∠SDB=60°.
∴GD=2 ,BG=6,SG= .
又 = = ,∴EF=2,S截面BEF=6………………14分
 
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